算术陷阱（7）
01. 开方默认正数
√(a²)=？多数人脱口而出 a。
a 为负时 √(a²)=−a 才对，根号出来必须非负。
√(a²)=|a|，a 的符号未定时必加绝对值。
02. 0 和 1 的特殊性漏讨论
a+b>a-b 恒成立？代 a=0 无所谓，但「a·b>a÷b」类题 b=±1 就翻车。
0 不能做除数、1 和 −1 的幂特殊、0 没有倒数——特例不讨论=不完整。
见到「任意 a」先想到 a=0、a=1、a=−1 三个哨兵值。
03. 整除与除尽混同
15÷0.5=30，能说 15 被 0.5 整除吗？
整除要求除数与被除数都是整数且余数为 0。
「整除」两字只在整数世界使用。
04. 相反数/倒数与负号纠缠
a 的倒数是 1/a？a=0 时不成立；「a 与 b 互为相反数」含 a=b=0 的情形。
倒数前提=非零；相反数含零对。
05. 比例中 a:b=1:2 就设 a=1,b=2
a:b=1:2，问 a+b 的可能值。
a=1,b=2 只是一组解，a=k,b=2k 才是全部。
设「一份」为 k，表达通式再代入条件。
06. 平均数掩盖分布
平均工资上涨=大家都涨？
平均数受极端值支配，中位数才反映「多数人」。
看到「平均」想一下分布是否被少数极端值拉偏。
07. 增长率连加
先涨 10% 再涨 10%=涨 20%？
基数变了：1.1×1.1=1.21，涨 21%。
增长率只能连乘不能连加。
代数陷阱（8）
08. 韦达定理忘验 Δ
方程 x²−(m)x+2=0 两根为 x₁,x₂，用韦达求 m。
两根存在的前提是 Δ≥0，含参方程不验 Δ 会得出不存在的 m。
用韦达的固定动作：先写「Δ=m²−8≥0」再解。
09. 均值不等式忘取等
x+4/x≥4 恒成立求范围？x=1 时才取等，若 x 限定范围不含 1 呢？
「一正二定三相等」——相等取不到时最小值不在 2√ab 处。
用均值前先确认取等点在定义域内。
10. 去分母漏乘常数项
(x+1)/2 + 1 = (2x)/3，两边乘 6 时中间的 1 漏乘。
去分母乘「每一项」，常数项最容易漏。
11. 解分式方程忘验根
分式方程解出 x=2，就完了？
去分母可能产生增根（使分母为 0 的解）。
分式方程必须验根：代回分母看是否为 0。
12. 不等式两边乘负号不翻向
−2x>4 → x>−2？
乘除负数不等号必须反向。
x<−2。每次乘除负数自问一句「翻了吗」。
13. 幂运算混滑
(a^m)^n 与 a^mn；(ab)ⁿ 与 abⁿ 差在哪？
(ab)ⁿ=aⁿbⁿ，但 abⁿ 只是 b 的 n 次幂乘 a。
看清幂落在括号上还是单个字母上。
14. 对数真数与底的范围
logₐ(b−1) 有意义？
真数 b−1>0，底 a>0 且 a≠1，两个条件缺一不可。
对数题第一动作写「定义域」。
15. 二次项系数含参漏「降次讨论」
(m−1)x²+2x+1=0 有实根，求 m。
m=1 时是一次方程也有实根——漏掉这一支就少解。
二次项系数含参必讨论「=0 退化为一次」的情形。
概率陷阱（6）
29. 互斥当独立
A、B 互斥且 P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25？
互斥时 AB=∅，P(AB)=0；互斥与独立是两个概念。
互斥=不能同时发生；独立=互不影响。两者几乎不能共存（除非概率为 0）。
30. 独立重复漏二项系数
4 次独立试验恰 2 次成功：p²(1−p)²？
漏了「哪两次成功」的组合数 C₄²。
「恰 k 次」=Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ。
31. 「至少」正面穷举到漏
3 发命中概率 p，「至少 1 发」=p+p+p？
完全理解错；对立=「一发都不中」。
至少 1 发=1−(1−p)³。
32. 放回与不放回混同
抽 2 张「不放回」，第二次概率还用原比例？
不放回时样本空间在缩小（条件概率）。
圈出「放回/不放回」关键词，不放回用乘法收缩。
33. 抽签公平原理反向使用
先抽的占便宜？
不放回抽签每人中签概率相同（与顺序无关）。
「第 k 个抽中」=全排列对称，概率=P(第 1 个抽中)。
34. 几何概型长度面积混用
「约会问题」用长度比？
二维区域问题要用面积比。
先判维度：一维量长度、二维量面积。
几何陷阱（6）
35. 相似面积比当边比
面积 1:4 的相似三角形边比 1:4？
边比 1:2，面积比才是 1:4（平方关系）。
面积比开方=边比；边比平方=面积比。
36. 钝角三角形高在外
画钝角三角形的高画进内部？
钝角对边的高在三角形外部。
求钝角三角形面积，高从顶点向对边延长线作垂线。
37. 直角三角形斜边认错
勾股定理 a²+b²=c² 的 c 是最长边？
只有直角所对边才是斜边，图上最长未必是斜边（非直角时）。
先确认直角在哪，再定斜边。
38. 圆的弦长用半径差
弦长=2√(r²−d²) 的 d 忘了是「弦心距」？
d 是圆心到弦的距离（垂直距离），不是弦上任意点。
半弦长+弦心距+半径 构成直角三角形，画图定位 d。
39. 单位不统一
半径 5cm 高 2m 求体积直接乘？
单位混用结果差 100 倍。
计算前统一单位；体积与面积比较注意量纲。
40. 内切外接混用
内切 r=a/2，外接 R=(√3/2)a（体对角线一半）。
内切贴面、外接过顶点——画图定位置再算半径。
解析几何陷阱（5）
41. 一般式不验圆
x²+y²+Dx+Ey+F=0 直接读圆心半径？
D²+E²−4F≤0 时根本不是圆（退化成点或无轨迹）。
一般式化标准式前先验判别式>0。
42. 点到直线距离分子漏绝对值
d=(Ax₀+By₀+C)/√(A²+B²)？
距离非负，分子必须加绝对值。
背公式连绝对值一起背。
43. 平行线距离系数未化同
3x+4y+5=0 与 6x+8y−5=0 距离=|5−(−5)|/5？
第二条要先除 2 化成 3x+4y−2.5=0。
两直线 A、B 系数化成相同再用 |C₁−C₂|/√(A²+B²)。
44. 斜率不存在漏讨论
过点 (1,2) 斜率为 k 的直线……k 不存在呢？
垂直于 x 轴的直线斜率不存在，设点斜式时丢失。
含 k 的直线题，问自己「竖直线满足条件吗」。
45. 截距是坐标不是距离
「截距相等」→|a|=|a|？
截距可正可负可零，「截距相等」要讨论 a=b 与 a=−b 两支。
截距相等分「同为正/负」与「互为相反数」两类。
条件充分性陷阱（5）
46. 小结论推大前提
条件给「x=2」，结论「x>1」——充分；但条件给「x>1」推「x=2」呢？
充分性方向是「条件⇒结论」，不可倒推。
判断前默念「由条件能推出结论吗」。
47. 只验一个特例就判充分
条件代入一个值成立=充分？
充分要求「所有满足条件的值都使结论成立」，一个特例不够。
找反例：能举出一个满足条件但结论不成立的值，立刻判不充分。
48. 联合时忘记重新验证
(1)(2) 都不充分，直接选 C？
联合后条件可能矛盾（无公共解），此时联合也不充分。
选 C 前先确认两条件有交集。
49. 两条件镜像漏判 D
(1) x>0 (2) x<0 都各自推不出，选 C？
若结论是「x≠0」，两条件各自都充分→D。
两条件「相反表述」时，想到结论可能只需「二选一成立」。
50. 忘了结论本身含隐藏约束
结论「x 是整数」+条件「x>0」？
结论自带「整数」属性，条件只需补足另一维。
读结论时把它的隐含属性列出来，再核对条件覆盖度。