二、代数与方程
5. 韦达扩展四件套
x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³−3x₁x₂(x₁+x₂)；1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂；|x₁−x₂|=√Δ/|a|
对称式全部化为两根和与积，不求解出根。
6. 韦达的符号速判
c/a>0 ⇒ 同号；−b/a>0 ⇒ 同正（再配同号）；ac<0 ⇒ 异号
根的分布题先扫这三个不等式，秒定选项方向。
7. 均值不等式三姐妹
积定→和最小：a+b≥2√ab；和定→积最大：ab≤((a+b)/2)²；倒数和定→积最大：1/a+1/b≥4/(a+b)（a,b>0）
用之前必须检验「取等条件可达」。
8. 二次函数顶点式速记
最值=(4ac−b²)/4a，在 x=−b/2a 取得
应用题最值直接套，不必配方的全过程。
9. 指数对数互化
aˣ=N ⟺ log_a N=x；log_a b·log_b a=1；a^(log_a N)=N
对数化简三件套。
四、排列组合概率
14. 常用 C 值速记
C₆²=15, C₆³=20, C₇³=35, C₈²=28, C₈³=56, C₉²=36, C₁₀²=45, C₁₀³=120
考场上最常出现的组合数，背熟省 8 次计算。
15. 对立转化双雄
P(至少一个)=1−P(全不)；独立重复「全不」=(1−p)ⁿ
16. 抽签公平
不放回抽签，第 k 人中签概率=P(第 1 人中签)
「先后顺序」题不用算条件概率。
17. 错位排列数列
D: 0, 1, 2, 9, 44, 265（n=1..6）
全部不在原位的「信封问题」直接套。
18. 隔板三型
至少 1 个：Cⁿ⁻¹ₘ₋₁；允许 0 个：Cⁿ⁺ᵐ⁻¹ₘ₋₁；每至少 r 个：先各分 r−1 个再按「至少 1」算
相同球分配一律隔板。
五、几何
19. 直角三角形内切圆
r=(a+b−c)/2（a,b 直角边，c 斜边）
内切圆半径秒杀，不必用面积法。
20. 等边三角形三件套
S=(√3/4)a²；高=(√3/2)a；外接圆 R=a/√3，内切圆 r=a/(2√3)，R=2r
21. 射影定理
直角三角形斜边上的高：h²=mn（m,n 为两段投影）；a²=mc，b²=nc
见到「斜边上的高」直接写三式。
22. 面积比与相似
相似比 k → 面积比 k² → 体积比 k³；阴影面积=整体−空白（割补）
不规则阴影面积题先想割补，别硬算。
23. 圆幂三兄弟
相交弦：AP·PB=CP·PD；切割线：PT²=PA·PB；CT²=CA·CB（割线）
圆内比例线段全靠它们。
24. 立体外接球三模型
长方体：R=½√(a²+b²+c²)；正四面体：R=(√6/4)a；直棱柱/圆柱侧放：先找底面外接圆再上移半径
外接球题先判断属于哪个模型。
25. 解析几何速算
弦长=2√(r²−d²)；点关于直线对称用中点+垂直双方程；圆与圆位置看 |r₁−r₂| 与 d 与 r₁+r₂
解析几何先「看位置」再「算」。