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管综数学公式一页纸（考前速背版）

适用 199 管理类联考 · 大纲七块全覆盖 · 每行一条 · 黑白打印友好，建议双面打印随身背

一、算术（比例 · 绝对值 · 均值）

  1. 交叉相乘a/b=c/d ⟺ ad=bc（内项积＝外项积）
  2. 更比·反比a/b=c/d ⟺ a/c=b/d ⟺ d/c=b/a
  3. 合比定理a/b=c/d ⟹ (a+b)/b=(c+d)/d
  4. 分比定理a/b=c/d ⟹ (a−b)/b=(c−d)/d
  5. 合分比定理a/b=c/d ⟹ (a+b)/(a−b)=(c+d)/(c−d)
  6. 等比定理a/b=c/d=e/f ⟹ (a+c+e)/(b+d+f)=a/b
  7. 连比甲:乙=m:n，乙:丙=n:k ⟹ 甲:乙:丙=m:n:k（中项取公倍数）
  8. 绝对值定义|x|=x（x≥0），|x|=−x（x<0）；恒有 |x|=√(x²)
  9. 几何意义|x−a|=数轴上 x 到 a 的距离；|x|=c（c>0）解为 x=±c
  10. 绝对值①|x|<a ⟺ −a<x<a（a>0，"小于取中间"）
  11. 绝对值②|x|>a ⟺ x>a 或 x<−a（a>0，"大于取两边"）
  12. 三角不等式|x±y|≤|x|+|y|；‖x|−|y||≤|x−y|
  13. 均值不等式a,b>0 时 a+b≥2√(ab)，a=b 取等
  14. 均值链2ab/(a+b) ≤ √(ab) ≤ (a+b)/2 ≤ √((a²+b²)/2)
  15. 均值最值和定⟹积最大（相等时）；积定⟹和最小（相等时）

二、代数式（乘法公式 · 因式分解 · 分式 · 幂）

  1. 完全平方(a±b)²=a²±2ab+b²
  2. 三项平方(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
  3. 平方差a²−b²=(a+b)(a−b)
  4. 立方和差a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)
  5. 和差立方(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
  6. 常用变形a³+b³=(a+b)³−3ab(a+b)；a³−b³=(a−b)³+3ab(a−b)
  7. 二项式通项(a+b)ⁿ 中 T(k+1)=C(n,k)·an−k·bk
  8. 提公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)（分解第一步）
  9. 十字相乘①x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
  10. 十字相乘②ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)，需 a1a2=a，c1c2=c，a1c2+a2c1=b
  11. 分组分解ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)
  12. 分式运算a/b±c/d=(ad±bc)/bd；a/b×c/d=ac/bd；(a/b)÷(c/d)=ad/bc
  13. 幂的运算aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；(ab)ⁿ=aⁿbⁿ
  14. 零负指数a⁰=1（a≠0）；a⁻ⁿ=1/aⁿ；am/n=ⁿ√(aᵐ)
  15. 根式化简√(ab)=√a·√b（a,b≥0）；1/√a=√a/a（分母有理化）

三、方程与不等式（一元二次为主）

  1. 求根公式x=(−b±√Δ)/(2a)，判别式 Δ=b²−4ac
  2. 判别式Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根
  3. 韦达定理x₁+x₂=−b/a；x₁x₂=c/a
  4. 韦达①倒数和1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)
  5. 韦达②平方和x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂
  6. 韦达③根之差|x₁−x₂|=√Δ/|a|
  7. 韦达④立方和x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³−3x₁x₂(x₁+x₂)
  8. 对称化方程已知 x+y=S，xy=P ⟹ x,y 是 t²−St+P=0 的两根
  9. 不等式性质a>b，c>0 ⟹ ac>bc；a>b，c<0 ⟹ ac<bc（乘负变号）
  10. 性质续a>b>c ⟹ a>c；同向可加：a>b，c>d ⟹ a+c>b+d
  11. 二次不等式a>0 时 ax²+bx+c>0 取两根之外；<0 取两根之间
  12. 解集口诀"大于取两边，小于取中间"（抛物线开口向上）
  13. 绝对值①|ax+b|<c ⟺ −c<ax+b<c（c>0）
  14. 绝对值②|ax+b|>c ⟺ ax+b>c 或 ax+b<−c（c>0）
  15. 分式不等式f(x)/g(x)>0 ⟺ f(x)g(x)>0；带等号须补 g(x)≠0
  16. 数轴穿根高次/分式统一：奇次因式穿根，偶次因式穿而不过（回头）

四、数列（等差 · 等比 · 递推构造）

  1. 等差通项aₙ=a₁+(n−1)d；推广 aₙ=aₘ+(n−m)d
  2. 等差中项a,b,c 成等差 ⟺ 2b=a+c
  3. 等差求和Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n−1)d/2
  4. 等差性质①m+n=p+q ⟹ am+aₙ=ap+aq（下标和相等）
  5. 等差性质②Sₙ，S₂ₙ−Sₙ，S₃ₙ−S₂ₙ 仍成等差（新公差 n²d）
  6. 等差最值Sₙ 是 n 的二次函数（无常数项），最值点 n*=(d−2a₁)/(2d)
  7. 通项与和aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁（n≥2）；a₁=S₁（务必验证 n=1）
  8. 等比通项aₙ=a₁·qⁿ⁻¹；推广 aₙ=aₘ·qⁿ⁻ᵐ
  9. 等比中项a,b,c 成等比 ⟺ b²=ac（b≠0）
  10. 等比求和q≠1 时 Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)；q=1 时 Sₙ=na₁
  11. 等比性质m+n=p+q ⟹ am·aₙ=ap·aq
  12. 无穷递缩|q|<1 时所有项之和 S=a₁/(1−q)
  13. 构造①等比型aₙ₊₁=paₙ+q ⟹ 设 aₙ₊₁+λ=p(aₙ+λ)，λ=q/(p−1)，{aₙ+λ} 成等比
  14. 构造②叠差型aₙ₊₁=paₙ+f(n) ⟹ 两边同除 pⁿ⁺¹ 后逐项相加
  15. 构造③倒数型aₙ₊₁=paₙ/(qaₙ+r) ⟹ 取倒数 1/aₙ₊₁ 化为等差数列
  16. 常用求和1+2+…+n=n(n+1)/2；1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

五、排列组合与概率

  1. 两大原理分类完成用加法（相加）；分步完成用乘法（相乘）
  2. 排列数A(n,m)=n!/(n−m)!=n(n−1)⋯(n−m+1)
  3. 组合数C(n,m)=n!/[m!(n−m)!]；C(n,m)=C(n,n−m)
  4. 组合恒等式C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n−1,m)；C(n,0)+⋯+C(n,n)=2ⁿ
  5. 解题总纲特殊元素/位置优先；先分类后分步，不重不漏
  6. 捆绑法＝相邻相邻元素先捆成一个整体参与排列，再对整体内部全排
  7. 插空法＝不相邻先排其余 n−m 个元素，留出 n−m+1 个空插入不相邻元素
  8. 隔板法＝相同球n 个相同球分 m 人每人≥1：C(n−1,m−1)；允许为 0：C(n+m−1,m−1)
  9. 错位重排 Dₙ全不在原位：D₁=0，D₂=1，D₃=2，D₄=9，D₅=44，D₆=265
  10. 错位递推Dₙ=(n−1)(Dₙ₋₁+Dₙ₋₂)
  11. 环形排列n 人围圆桌=(n−1)!（无首尾）；可翻转的再÷2
  12. 多重集排列n 个元素含 k 类各 ni 个：排法=n!/(n₁!·n₂!·…·nk!)
  13. 均匀分堆平均分成 m 堆须除以 m!（消除堆间顺序）
  14. 古典概型P(A)=m/n=A 包含的基本事件数÷基本事件总数
  15. 互斥事件A、B 互斥 ⟹ P(A∪B)=P(A)+P(B)
  16. 独立事件P(AB)=P(A)P(B)；一般加法 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
  17. 对立事件P(Ā)=1−P(A)；"至少一个"＝1−P(全不发生)
  18. 条件概率P(B|A)=P(AB)/P(A)
  19. 伯努利概型n 次独立重复恰成功 k 次：P=C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ

六、几何 · 平面

  1. 面积①S=½×底×高（任意三角形）
  2. 面积②S=½ab·sinC（两边 a,b 及夹角 C）
  3. 面积③S=pr（p 为半周长，r 为内切圆半径）
  4. 面积④海伦S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]，p=(a+b+c)/2
  5. 面积⑤坐标S=½|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
  6. 等积变形同底等高面积相等；同底三角形面积比＝高之比
  7. 相似比相似比 k ⟹ 周长与对应线段比为 k，面积比为 k²
  8. 相似判定AA（两角）；SAS（两边成比且夹角相等）；SSS（三边成比）
  9. 射影定理直角三角形斜边上的高 CD：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB
  10. 圆垂径定理 d²+(半弦)²=r²；弦切角＝所夹弧所对圆周角；切线⊥过切点半径
  11. 扇形弧长 l=nπr/180=θr（θ 弧度）；面积 S=nπr²/360=½lr

六、几何 · 立体

  1. 长方体V=abc；S全=2(ab+bc+ca)；体对角线=√(a²+b²+c²)
  2. 正方体V=a³；S=6a²；体对角线=√3·a
  3. 柱体V=S底×h；圆柱 V=πr²h，S侧=2πrh，S全=2πr(r+h)
  4. 锥体V=⅓S底×h；圆锥 V=πr²h/3，S侧=πrl，母线 l=√(r²+h²)
  5. 球V=4πr³/3；S=4πr²
  6. 球组合体正方体内切球 r=a/2；正方体外接球 R=√3a/2
  7. 等边圆柱轴截面为正方形（h=2r），其内切球半径＝r

六、几何 · 解析

  1. 两点距离|AB|=√[(x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²]
  2. 中点公式M=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  3. 斜率k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)=tanα（α 为倾斜角，α≠90°）
  4. 直线方程点斜式 y−y₀=k(x−x₀)；一般式 Ax+By+C=0
  5. 点线距离d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
  6. 平行线距离d=|C₁−C₂|/√(A²+B²)（x,y 系数先化相同）
  7. 线圆位置圆心到直线 d：d<r 相交；d=r 相切；d>r 相离
  8. 圆圆位置d=r₁+r₂ 外切；d=|r₁−r₂| 内切；介于两者之间相交
  9. 对称点①关于 x 轴 (x₀,−y₀)；y 轴 (−x₀,y₀)；原点 (−x₀,−y₀)
  10. 对称点②关于 y=x ⟹ (y₀,x₀)；y=−x ⟹ (−y₀,−x₀)；点 M(a,b) ⟹ (2a−x₀, 2b−y₀)

七、应用题套路公式

  1. 相遇相向而行：S=(v₁+v₂)·t
  2. 追及同向而行：ΔS=(v₁−v₂)·t
  3. 流水行船v顺=v船+v水，v逆=v船−v水；v船=(v顺+v逆)/2
  4. 环形跑道同向每相遇一次快者多跑一圈；反向合跑一圈相遇一次
  5. 等距平均速往返全程 v̄=2v₁v₂/(v₁+v₂)（调和平均，小于算术平均）
  6. 工程问题设总工程量为 1；合作时间 t=1/(各队效率之和)
  7. 浓度浓度=溶质÷溶液；混合前后溶质总量守恒
  8. 十字交叉浓度 a 与 b（a>b）混得 c ⟹ 两液质量比=(c−b):(a−c)
  9. 利润利润率=利润÷成本；售价=成本×(1+利润率)；折扣价=原价×折扣
  10. 容斥两集合|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
  11. 容斥三集合|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|AB|−|BC|−|AC|+|ABC|
  12. 恰好一个|A|+|B|+|C|−2(|AB|+|BC|+|CA|)+3|ABC|
  13. 最值·抛物线y=ax²+bx+c 顶点 x*=−b/(2a)，y*=(4ac−b²)/(4a)
  14. 最值·均值和定积最大、积定和最小——均在变量相等时取得
  15. 最值·线性规划实际约束下目标函数最值在可行域顶点取得（图解法）