数学精讲④ · 几何与应用题

是什么

三角形就是三条线段首尾相连围成的图形。它有两条铁律：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；面积 = ½ × 底 × 高。相似指形状相同、大小不同：对应角相等，对应边成比例。若 △ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 k，则周长比 = k，面积比 = k²。

怎么考

• 给两边，问第三边的取值范围（如两边为 3 和 7）。
• 平行线引出相似（A 字形、8 字形），求线段长或面积比。
• 折叠、阴影面积题里藏着一个相似三角形。

方法步骤

1. 三边范围：|a−b| < c < a+b，两个不等号都是严格的。
2. 相似题：先找平行线或公共角 → 判定相似 → 按对应顶点顺序写比例式 → 代入求解。
3. 求面积比：先求相似比 k，再平方；别拿线段比直接当面积比。

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例△ABC 中，DE∥BC，D 在 AB 上、E 在 AC 上，AD:DB = 2:3，BC = 10。求 DE 及 S△ADE : S△ABC。

常见坑

• 面积比忘平方：相似比 2:5，面积比是 4:25，不是 2:5。
• 第三边范围写成「≤」：取等号时三点共线，根本围不成三角形。
• 比例写串：AD/AB 别错写成 AD/DB，对应顶点顺序必须对齐。

是什么

圆一圈的长度是周长 C = 2πr，圈住的地面是面积 S = πr²。扇形就是用两条半径从圆上切下的一块，像披萨的一角。圆心角占全圆几分之几，弧长和面积就占几分之几：弧长 l = 2πr × (θ/360°)，扇形面积 = πr² × (θ/360°) = ½ l r。

怎么考

• 给半径与圆心角（或弧长），求弧长、面积、周长。
• 阴影面积：扇形与三角形、正方形的加减组合。
• 滚动与旋转：轮子滚一圈前进一个周长；旋转扫过的面积是扇形。

方法步骤

1. 先写下 r 与 θ（或 l），分清直径和半径。
2. 先算占比 θ/360°（常见 1/6、1/4、1/3），再乘周长或面积，一步不乱。
3. 扇形周长 = 弧长 + 两条半径，永远别忘加。

例题完整演示

例扇形半径 6，圆心角 120°。求弧长、面积与周长。

常见坑

• 扇形周长忘加两条半径：只答弧长 4π 直接丢一半分。
• 题给直径 6，r 应取 3：πr² 里先用 3² = 9，不是 36。
• 占比写反：是 θ/360°，不是 360°/θ。

是什么

柱（圆柱、棱柱）上下一样粗：体积 V = 底面积 × 高，圆柱侧面积 = 2πrh。锥（圆锥、棱锥）被削尖：体积只有同底等高柱的 ⅓。球一组公式：V = 4/3 πr³，表面积 = 4πr²。圆锥侧面积 = πrl，l 是母线（顶点到底圆圆周上一点的距离）。

怎么考

• 直接套公式求体积、表面积。
• 等积变形：熔铸、倒水、压缩——形状变了，体积没变。
• 立体相似：整体放大缩小，问表面积或体积变成几倍。

方法步骤

1. 认形状 → 写公式 → 代入；半径直径先分清。
2. 等积题：抓住「体积不变」这一个方程，新旧两套数据分别算体积画等号。
3. 立体相似：长度比 k → 面积比 k² → 体积比 k³，三层各归各位。

例题完整演示

例圆柱底面半径 3、高 10，盛满水后全部倒入底面半径为 3√2 的空圆柱。求新水深。

常见坑

• 锥体公式丢 ⅓：V = ⅓ Sh，丢了答案直接翻三倍。
• 立体相似串层：边长 k 倍时，表面积 k² 倍、体积 k³ 倍，三者不能混用。
• 单位换算：1 m = 100 cm，所以 1 m³ = 100³ cm³ = 10⁶ cm³，不是 100。

是什么

平面上的点用 (x, y) 表示，直线和圆都能写成方程。直线 Ax + By + C = 0 的斜率 k = −A/B；圆 (x−a)² + (y−b)² = r² 的圆心是 (a, b)、半径是 r。一般方程 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 只要配方就能找回圆心和半径。

怎么考

• 给圆心半径（或直径两端点）求圆方程。
• 判断直线与圆的位置关系：相交、相切、相离。
• 求切线方程，或利用位置关系求弦长。

方法步骤

1. 直线：一个定点 + 斜率 → 点斜式；圆：配方 → 圆心半径一步到位。
2. 位置关系只算一个 d：圆心到直线的距离 d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)。d < r 相交，d = r 相切，d > r 相离。
3. 比较 d 与 r 时两边平方，免开根号，还不会错。

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例判断圆 x² + y² − 4x + 2y = 0 与直线 x − y + 2 = 0 的位置关系。

常见坑

• 配方漏补：x² − 4x 要加 4，y² + 2y 要加 1，右边必须同步加，才能配出 (x−2)²+(y+1)²。
• 斜率不存在：竖直线 x = 3 没有 k，别硬套斜率公式。
• 用一般式前先看 x²、y² 系数是否为 1，不是 1 先除成 1 再配方。

是什么

点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)，背公式即可。对称就是"翻折"：关于 x 轴 → (x, −y)；关于 y 轴 → (−x, y)；关于 y = x → (y, x)。点关于一般直线的对称点没有口诀，要靠两个条件解出来：连线垂直于直线，中点在直线上。

怎么考

• 直接求点到直线的距离，或两条平行线间的距离。
• 求点、直线关于坐标轴、y = x、y = −x 的对称图形。
• 最短路问题（将军饮马）：同侧两点一动一定，先对称再连线。

方法步骤

1. 特殊轴对称背口诀：同轴变号（x 轴变 y），互换（y = x）；y = −x 则互换后再变号。
2. 一般对称点：设 B(a, b)，联立「斜率积 = −1（垂直）」+「中点代入直线」，两个方程两个未知数。
3. 最短路：把动点一侧的点翻到直线对面，两点连线与直线的交点就是最短处。

例题完整演示

例求点 A(1, 3) 关于直线 y = x + 1 的对称点。

常见坑

• 关于 y = x + 1 这类平移过的直线没有口诀，必须解方程，套"互换"必错。
• 距离公式分子忘加绝对值，算出负距离。
• 将军饮马翻错点：要翻的是动点所在一侧的那个点，不是定点。

是什么

工程题没有给绝对工作量时，把总量设成 1，效率 = 工作量 ÷ 时间；几人合作，效率直接相加。行程题核心一条式子 s = vt：相遇看路程之和，追及看路程之差；顺水速 = 船速 + 水速，逆水速 = 船速 − 水速。

怎么考

• 合作完工、中途离场、轮流干，问还需几天。
• 直线相遇与追及、环形跑道多圈相遇。
• 流水行船、往返两次求水速或路程。

方法步骤（设元-列式-求解-验答全流程）

1. 设元：工程设总量 = 1（或时间的最小公倍数），行程设速度或时间。
2. 列式：工程列「效率 × 时间 = 工作量」，行程列「路程等式」。
3. 求解：一次方程或简单分式方程，通分要细。
4. 验答：代回原情境——时间不为负、完成总量恰为 1，才收工。

例题完整演示

例一项工程，甲单独 12 天完成，乙单独 18 天完成。合作 4 天后甲离开，乙还要单独干几天？

常见坑

• 合作天数取平均：甲 12 天、乙 18 天，合作不是 15 天，而是 1 ÷ 5/36 = 7.2 天——效率相加，不是时间平均。
• 追及除错：追及时间 = 追及距离 ÷ 速度差，不是速度和。
• 单位混用：一小时和一分钟先统一，再列式。

是什么

浓度 = 溶质 ÷ 溶液（盐水里：盐 ÷ 盐水）；利润 = 售价 − 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本。加水稀释、蒸发浓缩，变的都是水，盐一颗没动——"抓不变量"是这类题唯一的钥匙。

怎么考

• 加水稀释或蒸发浓缩：溶质不变。
• 两种溶液混合：混合前后溶质总量守恒。
• 打折促销：售价 = 成本 × (1 + 利润率)，实收 = 标价 × 折数。

方法步骤（设元-列式-求解-验答全流程）

1. 设元：成本或原液量设 100（或整十数），要求的量设 x。
2. 列式：盯住不变量——稀释盯溶质，混合盯总量，打折盯成本。
3. 求解：一次方程为主，分式方程去分母。
4. 验答：把答案代回浓度或利润率公式，核对题意。

例题完整演示

例有 20% 的盐水 300 克，要稀释成 15% 的盐水，需要加水多少克？

常见坑

• 利润率分母用错：成本 100 卖 150，利润率是 50%，不是 33.3%——分母永远是成本。
• 打 8 折是 ×0.8，不是"减 20%"再叠减。
• 蒸发题要盯盐不要盯水；混合别图省事取浓度平均——两液质量不等时平均必错。

是什么

"最多 / 最少 / 最大利润"这类问题，最后往往变成一个二次函数 y = ax² + bx + c。a < 0 开口向下有最大值，在顶点 x = −b/(2a) 处取得。第二件武器是均值不等式：a, b > 0 时 a + b ≥ 2√(ab)，两数相等时取等号。

怎么考

• 涨价降销量，问定价多少利润最大。
• 周长固定求面积最大（或面积固定求周长最小）。
• 用均值不等式求和的最小值或积的最大值。

方法步骤

1. 设元：设变化量 x，写出目标函数（利润、面积）。
2. 定方向：看开口方向确认求最大还是最小。
3. 求解：二次函数找顶点；均值不等式凑"定值 + 等号条件"。
4. 验范围：检查顶点的 x 是否在允许范围（销量、边长不能为负）。

例题完整演示

例商品成本 40 元，售价 60 元时每天卖 100 件；每涨价 1 元，每天少卖 2 件。涨价多少元利润最大？

常见坑

• 不先看开口方向：a > 0 时顶点是最小值，问最大就答反。
• 目标混乱：「利润最大」≠「销量最大」≠「单价最高」，函数必须是利润。
• 均值不等式不验等号与定值：两数不是定值不能套，等号条件不满足时最值取不到。

• 一天两个考点，四天过一轮。几何（01-05）重公式还原与图形翻译；应用题（06-08）重「设元-列式-求解-验答」四步走全，一步不跳。
• 几何题先在脑内把图形"翻译"成数字关系再动公式；应用题先问自己：哪个量不变？不变量就是列式的锚。
• 每道错题对照「常见坑」找同名坑——坑是重复的，认坑比刷题快。