数学精讲③ 排列组合·概率

是什么

做一件事，若任选一种方式就能独立完成到底，这些方式之间是「类」，类与类相加；若必须依次完成几个环节、缺一不可，环节之间是「步」，步与步相乘。一句话：能「或」就加，要「且」就乘。

怎么考

• 纯模型：「甲地到乙地有多少种走法」——火车 3 班、汽车 5 班、飞机 2 班，任选其一即到达，3+5+2=10。
• 组成数字 / 密码类：各位依次确定，少一位不成立，是分步。
• 复杂计数题的第一步：先把大任务拆成若干类，每类内部再拆成若干步，类加步乘混用。

方法步骤

1. 判关系：问自己「做完这一步，事情完成了吗？」——完成→独立类相加；没完成→环节步相乘。
2. 分类要不重不漏：两类有没有交集？并起来盖住全部了吗？
3. 分步要串行完整：后一步的种数要在前几步已定的前提下数。

例题完整演示

例用 0~9 组成无重复数字的三位数，共多少个？

常见坑

• 分类有交集导致重复：「会英语的」和「会法语的」两类有人重叠，要按「只会英语 / 只会法语 / 都会」重新分类或用容斥。
• 分步漏环节（三位数只定两位就乘）。
• 见「至少…」直接乘：至少类问题往往要先按情况分类，再每类内部分步。

是什么

排列 = 选出来还要安排位置或顺序（对象有身份），用 A(n,m)；组合 = 选出来就完事（对象无身份），用 C(n,m)。两者关系：A(n,m)=C(n,m)×m!——先组合选人，再排列分工。

怎么考

• 纯选人：「10 选 3 参加会议」→ C(10,3)。
• 选了还要派活：「选 3 人分别任 3 个不同职务」→ 先选后排。
• 排队、排数位等纯位置题，本质是全排列 A(n,n)=n!。

方法步骤

1. 找「身份」：选出的对象是否对应不同结果（职位、名次、数位、时间先后）？
2. 有身份 → 排列；无身份 → 组合。
3. 复合题：先组合选，再排列排，两步相乘。

例题完整演示

例10 名学生：(1) 选 3 人去开会；(2) 选 3 人分别担任班长、学习委员、体育委员。各多少种？

常见坑

• 见「排队」条件反射再乘 m!——纯排队本身就是 A(n,n)，没有额外的 m!。
• 复合题选完忘记排（少乘 m!）：6 选 2 再排顺序应是 A(6,2)=30，不是 C(6,2)=15。
• 不会用对称性：C(n,m)=C(n,n−m)，C(10,8) 按 C(10,2)=45 算省时间。

是什么

捆绑治「必须相邻」：把要挨着的元素捆成一个整体先排，再解绑排内部。插空治「互不相邻」：先排没要求的元素，把受限制的塞进空隙。口诀：相邻捆绑，不相邻插空；谁受限谁后处理。

怎么考

• 「甲乙必须相邻」类排队。
• 「甲乙丙互不相邻」类排队。
• 混合题：一部分要求相邻、另一部分要求不相邻，两个套路连用。

方法步骤

• 判「相邻」→捆绑：m 个元素捆成 1 个整体，对象数变 n−m+1 个做全排列，再乘内部 m!。
• 判「不相邻」→插空：先排其余 n−m 个，产生 (n−m)+1 个空隙（两端也算空），从中选 m 个空排列受限制元素。

例题完整演示

例16 人排队，甲乙必须相邻，多少种排法？

例26 人排队，甲乙丙三人互不相邻，多少种排法？

常见坑

• 捆绑忘内部排序：捆完少乘 2!，240 算成 120。
• 空隙数错：3 人排完是 4 个空不是 2 个空——n 个元素之间 n−1 个空，加上两端共 n+1。
• 多组捆绑要逐捆处理，每捆各乘自己的内部阶乘；「相邻 + 不相邻」同题时先捆绑再插空。

是什么

n 个相同的球排成一行，球与球之间有 n−1 个空隙，插 m−1 块板就分成 m 堆、每堆至少 1 个——隔板法本质是「相同元素非空分组」的计数器：C(n−1, m−1)。

怎么考

• 标准型：「10 个相同苹果分给 4 人，每人至少 1 个」。
• 预支型：「每人至少 2 个」。
• 升维型：「允许有人拿 0 个」。

方法步骤（三条件缺一不可）

元素相同、全部发完、每组非空。

• 判定思考：为什么必须「相同」？球不同时「甲拿 1 号乙拿 2 号」和「甲拿 2 号乙拿 1 号」是不同方案，而隔板只切数量不认身份，套隔板就漏掉身份分配。为什么是 n−1 个空？板只能插在球与球之间；插到队伍两端意味着有堆为 0，违反「至少 1」。

例题完整演示

例110 个相同球分 4 人，每人至少 1 个。

例2每人至少 2 个。

例3允许有人拿 0 个。

常见坑

• 不同元素硬套隔板：先想清楚题目认不认元素身份。
• 「至少 k 个」忘预支：例 2 若直接 C(9,3)=84 就把「每人至少 1」的情况全混进来了。
• 「允许 0」直接套 C(n−1,m−1) 会少算——必须先升维再插板。

是什么

相同元素分组 = 只关心每堆数量的分法数。无上限、每组非空时就是隔板法（考点4）；一旦出现「每堆至多 x 个」这类上限，隔板只保下限管不了上限，改用定序枚举：把各堆数量从小到大排 a≤b≤c，逐个枚举最小堆的取值。

怎么考

• 「10 个相同球分 3 堆，每堆至少 1 至多 5，多少种分法」。
• 同题追问「分给 3 个具体的人」——堆有没有身份，答案差一个 A(3,3)。
• 与「不同元素均匀分组」对照出坑：选完分堆要除以组数阶乘消序。

方法步骤

1. 设各堆数量从小到大：a≤b≤c（不排序必重复计数）。
2. 枚举 a 的取值，b 的范围由 b≥a 且 b≤c 反解出（b≤和的一半）。
3. 堆无身份→枚举结果就是答案；分给具体的人（堆有身份）→每个数量方案乘 A(组数， 组数)。

例题完整演示

例10 个相同球分 3 堆，每堆至少 1 个、至多 5 个（堆不区分），多少种？

常见坑

• 带上限硬套隔板：C(9,2)=36 会把「有堆超 5 个」的方案也算进去。
• 枚举不排序：(1,4,5) 和 (4,1,5) 被算成两种——先定 a≤b≤c 再枚举。
• 堆没身份却乘了 A(3,3)（分堆 ≠ 分人，均匀分堆另有「除以组数阶乘」的消序要求，见「6 本不同书平均分 3 堆」=C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)=15）。

是什么

样本空间有限 + 每个基本事件等可能，则 P(A)=A 包含的事件数 ÷ 总事件数。难点从来不是除法，而是数对分子分母：基本事件必须真等可能，分子分母必须同一个口径。

怎么考

• 摸球掷骰：「袋中 5 白 3 红任取 2 个，恰 1 红」。
• 等可能辨析：「掷两枚骰子点数和为 7」——考你样本空间怎么定。
• 「至少一个」用对立事件 1−P(一个都没有)。

方法步骤

1. 定样本空间 Ω：写出你认为的基本事件，自问「它们等可能吗？」
2. 数 |Ω| 与 |A|，两者必须同口径（同有序或同无序）。
3. 相除、约分。

例题完整演示

例1袋中 5 白 3 红，任取 2 球，恰 1 红的概率？

例2掷两枚骰子，点数之和为 7 的概率？

常见坑

• 分子分母口径不一致——最高频错误，且错出来的数常出现在选项里。
• 合并不等可能的事件当基本事件（两枚骰子按「点数组合」数成 21）。
• 「至少 1 个红球」正面分三类算，费时易漏——用对立：1−C(5,2)/C(8,2)=1−10/28=9/14。

是什么

独立：P(AB)=P(A)·P(B)，一个发生与否不影响另一个的概率。n 重伯努利试验：同一试验独立重复 n 次、每次只有「发生 / 不发生」且概率不变，则恰好发生 k 次的概率为 C(n,k)·p^k·(1−p)^n−k。

怎么考

• 「恰好命中 k 次」——直接套二项公式。
• 「至少命中一次」——用对立 1−(1−p)ⁿ。
• 概念辨析：独立与互斥的区别（选择题常客）。

方法步骤

1. 判独立：题目出现「独立重复 / 放回 / 每次概率相同」→ 独立，可用伯努利。
2. 对号入座：恰好 k 次 → 二项公式；至少一次 → 对立事件。
3. 「第 n 次才首次发生」→ (1−p)ⁿ⁻¹·p，没有组合数。

例题完整演示

例射手命中率为 0.8，独立射击 3 次。求：(1) 恰好命中 2 次；(2) 至少命中 1 次。

常见坑

• 把互斥当独立：互斥 → P(AB)=0；独立 → P(AB)=P(A)P(B)，两者一般不相容。互斥事件的和概率才相加，独立事件没有「加法公式」。
• 「恰好 k 次」与「恰好第 n 次首次命中」混淆：后者是 (1−p)ⁿ⁻¹p，不乘 C。
• 不放回抽样不独立，不能套伯努利公式——「独立重复」四个字是使用前提。

• 计数题主链：先拆「类与步」（考点1）→ 判「A 还是 C」（考点2）→ 出现相邻/不相邻上「捆绑 / 插空」（考点3）→ 相同球分组走「隔板 / 枚举」（考点4、5）。
• 概率题主链：先定等可能的样本空间（考点6）→ 分子分母同口径 → 独立重复的问法对号入座（考点7）。
• 每道例题都给了「为什么这么做」的判定思考——考场上想不出公式时，退回判定口令（交换变不变？或还是且？条件齐不齐？）自己把方法重新推出来。
• 建议顺序：1→2 打底，3→4→5 是计数三件套，6→7 收概率；每个考点 5 分钟，当天在真题里用一次。