数学精讲② 方程 · 不等式 · 数列
八个考点讲透：是什么 → 怎么考 → 方法步骤 → 例题全程演示 → 常见坑
考点 1 · 一元二次方程
是什么
ax²+bx+c=0（a≠0）。判别式 Δ=b²−4ac 决定根的情况：Δ>0 两个不等实根、=0 两个相等实根、<0 无实根。
怎么考
①解方程 ②含参方程讨论根的情况 ③两根关系（对称式求值）④应用题建模成一元二次。
方法步骤
解方程四法优先级：直接开方 → 因式分解（十字相乘）→ 公式法 → 配方法。公式法是万能兜底：x=[−b±√Δ]/2a。
例题完整演示
题：解 2x²−5x+2=0。
十字相乘：2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)——十字：2×2=4 与 1×1=1，交叉 2×1+1×2=4？不对，重新：2x 与 x、1 与 2 → (2x−1)(x−2)=2x²−4x−x+2=2x²−5x+2 ✓。
答案：x=1/2 或 x=2。验算：x=1/2 时 2×¼−5/2+2=0 ✓。
十字相乘猜不出来立刻换公式法，别硬耗；二次项系数为负先乘 −1 转正再做。
考点 2 · 韦达定理
是什么
两根之和=−b/a，两根之积=c/a——不用解出根，就能知道根的「和与积」的一切组合值。
怎么考
①求 x₁²+x₂²、|x₁−x₂|、1/x₁+1/x₂ 等对称式 ②已知两根关系反求参数 ③结合根的分布。
方法步骤
对称式三件套：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂；|x₁−x₂|=√Δ/|a|。
例题完整演示
题：x²−3x+1=0 两根为 x₁,x₂，求 x₁³+x₂³。
步骤：①韦达：x₁+x₂=3，x₁x₂=1。②立方和公式：x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³−3x₁x₂(x₁+x₂)。③代入：27−3×1×3=27−9=18。
答案：18。全程没解出根——这就是韦达的威力。
用韦达前必须 Δ≥0（含参题先验判别式），否则算出的是「不存在的根」的关系。
考点 3 · 根的分布
是什么
研究二次方程的根落在什么区间——用「函数图像+特殊点函数值符号」判断，比硬解快。
怎么考
两根均正/均负/一正一负/两根都大于 k/一根在 (p,q) 内——给参数求范围。
方法步骤
图像法四查：①开口方向 ②Δ ③对称轴位置 ④特殊点函数值符号。画草图后逐条列不等式组。
例题完整演示
题：x²−2(m−1)x+m+1=0 两根均大于 1，求 m 范围。
步骤：①Δ=4(m−1)²−4(m+1)≥0。②对称轴 x=m−1>1（两根都>1，对称轴必须在 1 右边）。③f(1)>0（1 在两根左边，开口向上时 f(1)>0）：1−2(m−1)+m+1>0 → 4−m>0 → m<4。
解联立：Δ≥0：m²−3m≥0 → m≤0 或 m≥3；对称轴 m>2；f(1)→m<4。三段取交：3≤m<4。
两根均大于 k 必须三条同时满足（Δ、对称轴、f(k)），漏一条就错——「对称轴+端点值」组合是标准动作。
考点 4 · 不等式解法
是什么
不等式的解是一个「范围」。核心规则只有两条：①两边乘除负数→反向 ②分式不等式移项通分后再解，不能交叉相乘。
怎么考
①一元二次不等式（与抛物线图像结合：大于取两边、小于取中间）②分式不等式 ③含绝对值不等式 ④指数对数不等式（同底化+单调性）。
方法步骤
二次不等式四步：化标准形（a>0）→ 求根 → 画开口向上的抛物线草图 → 「>0 取两根之外，<0 取两根之内」。
例题完整演示
题：解 −x²+x+2>0。
步骤：①乘 −1 转正（翻不等号）：x²−x−2<0。②因式分解：(x−2)(x+1)<0。③两根 −1 和 2，小于取中间。
答案：−1<x<2。
等号取舍看原不等式有没有等号（≥ 的端点要闭区间）；分式不等式 ≥0 时分母不能为 0。
考点 5 · 均值不等式
是什么
对正数 a、b：a+b≥2√ab（和≥2 倍几何平均）。用途：求最值。三个保证条件「一正二定三相等」缺一不可。
怎么考
①积定求和最小 ②和定求积最大 ③构造 a+1/a 型 ④实际应用最值。
方法步骤
求最值三步：确认正数 → 凑「定值」（乘积定则和有最小，和定则积有最大）→ 验证取等点在定义域内。
例题完整演示
题：x>0，求 x+4/x 的最小值。
步骤：①正数 ✓。②乘积 4 为定值 ✓。③和 ≥2√(x·4/x)=4，取等当 x=4/x 即 x=2（在 x>0 内 ✓）。
答案：最小值 4，在 x=2 取得。
若题目限制 x≥5，取等点 x=2 取不到——最小值就不是 4，要改用函数单调性算 x=5 处的值。
考点 6 · 等差数列
是什么
相邻两项差恒为 d 的数列。通项 aₙ=a₁+(n−1)d；求和 Sₙ=na₁+n(n−1)d/2=n(a₁+aₙ)/2。
怎么考
①知两项求通项/Sₙ ②中项与性质（aₘ+aₙ=aₚ+a_q）③Sₙ 最值 ④Sₙ 结构判定。
方法步骤
基本量法：一切等差题都化成「a₁ 和 d 两个未知数」的方程组。
例题完整演示
题：a₃=5，a₇=13，求 S₁₀。
步骤：①a₃=a₁+2d=5，a₇=a₁+6d=13。②两式相减：4d=8 → d=2，a₁=1。③S₁₀=10×1+10×9×2/2=10+90=100。
答案：100。或用中项秒杀：S₁₀=(a₁+a₁₀)×10/2=5(a₁+a₁₀)=5(a₅+a₆)。
Sₙ=An²+Bn（无常数项）才是等差；出现常数项说明「从某项起」才是等差，要分段。
考点 7 · 等比数列
是什么
相邻两项比恒为 q。通项 aₙ=a₁qⁿ⁻¹；求和 Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）；q=1 时 Sₙ=na₁。
怎么考
①知两项求通项/Sₙ ②中项性质 ③「Sₙ, S₂ₙ−Sₙ, S₃ₙ−S₂ₙ 成等比」④增长类应用题。
方法步骤
同基本量法（a₁ 与 q）；含参求和必须先讨论 q=1。
例题完整演示
题：a₂=6，a₅=48，求 a₄。
步骤：①a₅/a₂=q³=48/6=8 → q=2。②a₁=6/2=3。③a₄=a₁q³=3×8=24。
答案：24。验证：数列 3,6,12,24,48 ✓。
q 为负时各项正负交替；q 含参时漏掉 q=1 是等比题第一错。
考点 8 · 数列求和方法
是什么
非等差等比的数列求和，四大通用武器：裂项相消 / 错位相减 / 分组求和 / 倒序相加。
怎么考
①分式型（分母是乘积）→裂项 ②等差×等比→错位相减 ③分段数列→分组 ④正负交替→并项。
方法步骤
选武器：分母是 n(n+1) 型→裂项；含 aⁿ 乘多项式→错位相减；奇偶项规律不同→分组；首尾有对称关系→倒序相加。
例题完整演示
题：求 1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(99×100)。
步骤：裂项：每项=1/n−1/(n+1)。求和=1−1/2+1/2−1/3+…+1/99−1/100。中间全消。
答案：1−1/100=99/100。验证：留首项 1 和末项 1/100——裂项后必查「剩什么」。
裂项系数（1/k）别丢；错位相减最后一步「相减错位对齐」最容易算错，写慢点。
199 计划 · 数学精讲② · 配套：公式速查（formula）/ 易错陷阱（math-traps）/ 练习卷（题库实刷）
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