一、算术与比例
奇偶运算
奇±奇=偶，奇±奇=偶，奇×奇=奇；奇±偶=奇，偶×任何=偶
多项相加看奇数个数的奇偶
整除判定
3/9→数字和；4/25→末两位；8/125→末三位；11→奇位和−偶位和是 11 倍数
质因数分解
N=p₁^a₁·p₂^a₂…，约数个数=(a₁+1)(a₂+1)…
约数个数公式最常考，指数加 1 再相乘
绝对值
|a−b| 表示数轴距离；|a|²=a²；√(a²)=|a|
√(a²)=a 仅当 a≥0，去掉根号必加绝对值
比例定理
a/b=c/d ⟹ (a+b)/b=(c+d)/d；(a−b)/b=(c−d)/d；(a+b)/(a−b)=(c+d)/(c−d)
三角不等式
|a|−|b| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
取等条件：同号取右等，异号取左等
增长率链
先涨 a% 再降 a%：原值×(1−a²/10000)，净降 a²/10000
二、整式与分式
乘法公式
(a±b)²=a²±2ab+b²；(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc；(a+b)(a−b)=a²−b²；(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)
a³−b³ 的第二个因式是 a²+ab+b²（符号与立方相反）
配方法
ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+(4ac−b²)/4a
韦达定理
x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a（ax²+bx+c=0 且 Δ≥0）
用韦达前必须验 Δ；常见变形 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂，|x₁−x₂|=√(Δ)/|a|
均值不等式
a+b≥2√(ab)（a,b>0）；a+1/a≥2（a>0）
取等条件 a=b；「一正二定三相等」缺一不可
指数对数
aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；logₐ(MN)=logₐM+logₐN；logₐb=log_c b/log_c a
真数必须>0，底>0 且 ≠1
三、方程与不等式
一元二次判别式
Δ=b²−4ac：Δ>0 两不等实根；=0 两相等；<0 无实根
根的分布（常考四型）
两根均正：Δ≥0 且 −b/a>0 且 c/a>0；两根均负：Δ≥0 且 −b/a<0 且 c/a>0；一根正一根负：Δ>0 且 c/a<0（ac<0 最快）；一根在 p 左一根在 p 右：af(p)<0
ac<0 是「异号」的充要快捷判据
含参不等式
ax>b：a>0 时 x>b/a；a<0 时 x<b/a
除以系数必须先讨论符号，漏讨论=必错
绝对值方程
|x−a|+|x−b| 最小值=|a−b|（x 在 [a,b] 内取到）；|x−a|−|x−b| 最小值=−|a−b|，最大值=|a−b|
分式不等式
f/g>0 ⟺ fg>0；f/g≥0 ⟺ fg≥0 且 g≠0
移项通分后再解，两边直接乘分母=送命
四、数列
等差
aₙ=a₁+(n−1)d；Sₙ=na₁+n(n−1)d/2=n(a₁+aₙ)/2
Sₙ 最值：对称轴 n=−(a₁−d/2)/d 附近取整
等差性质
若 m+n=p+q 则 aₘ+aₙ=aₚ+a_q；S₂ₙ₋₁=(2n−1)aₙ；Sₙ, S₂ₙ−Sₙ, S₃ₙ−S₂ₙ 成等差
等比
aₙ=a₁qⁿ⁻¹；Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）
公比含参时必须讨论 q=1；a₁<0 且 q 奇偶影响符号
等比性质
Sₙ, S₂ₙ−Sₙ, S₃ₙ−S₂ₙ 成等比（公比 qⁿ）
裂项求和
1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)；1/[n(n+2)]=½(1/n−1/(n+2))
裂项后首尾相消，验证剩首尾再算
递推常见型
aₙ₊₁=paₙ+q → 构造 aₙ₊₁+λ=p(aₙ+λ)，λ=q/(p−1)
五、排列组合
基础计数
Aₙᵐ=n!/(n−m)!；Cₙᵐ=n!/[m!(n−m)!]；Cₙᵐ=Cₙⁿ⁻ᵐ
分类与分步
分类相加（或），分步相乘（且）
先分类后分步；分类不重不漏是第一步检查项
捆绑法
相邻问题：整体先捆成一个元素排列，再内部自排，乘 (n−m+1)!×m!
插空法
不相邻问题：先排其余 n 个，留 n+1 个空，选空插入 Aⁿ⁺¹ᵐ
「不相邻」用插空，「相邻」用捆绑，别用反
隔板法
n 个相同球分给 m 人每人至少 1 个：Cⁿ⁻¹ₘ₋₁
仅适用于「相同元素+每人至少一个」；允许 0 个先借 1 再还
错位排列
D₁=0，D₂=1，D₃=2，D₄=9，D₅=44，Dₙ=(n−1)(Dₙ₋₁+Dₙ₋₂)
分组分配
均匀分组要除组数的阶乘：6 人均分 3 组 C₆²C₄²C₂²/3!；再分配给人 ×3!
「平均分组不指定去向」必须除组数阶乘——最常见重复计数点
环形排列
n 人围桌：(n−1)!；n 珠串链（可翻转）：(n−1)!/2
七、平面几何
三角形
S=½×底×高=½ab·sinC；等边 S=(√3/4)a²；内角和 180°，外角=不相邻两内角和
相似
相似比 k → 面积比 k² → 体积比 k³
面积比开方才是边比，别直接拿面积比当边比
直角三角形
勾股定理；30° 对边=斜边一半；斜边上的中线=斜边一半
特殊角值
sin30°=½，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2；tan45°=1，tan60°=√3
四边形
平行四边形 S=底×高；梯形 S=½(上底+下底)×高；菱形 S=½×对角线之积
圆
S=πr²，C=2πr；扇形 S=(n/360)πr²，弧长 l=(n/180)πr；垂径定理：弦心距平分弦
圆周角
同弧圆周角=圆心角一半；直径所对圆周角=90°
九、解析几何
两点距离/斜率
d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]；k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
点到直线距离
d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
先化成一般式再代公式，分子加绝对值
两平行线距离
d=|C₁−C₂|/√(A²+B²)（A,B 系数化相同后）
圆的方程
(x−a)²+(y−b)²=r²；圆心 (a,b) 半径 r；x²+y²+Dx+Ey+F=0 → 圆心(−D/2,−E/2)，r=½√(D²+E²−4F)
一般式必须先验 D²+E²−4F>0 才是圆
直线与圆
位置关系看圆心到直线距离 d：d<r 相交（弦长=2√(r²−d²)）；d=r 相切；d>r 相离
弦长公式 2√(r²−d²) 高频，半弦长+半径+弦心距构成直角三角形
对称
点 (x₀,y₀) 关于 x 轴 (x₀,−y₀)、关于 y 轴 (−x₀,y₀)、关于原点 (−x₀,−y₀)、关于 y=x (y₀,x₀)